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Autonomous Networking/notes/7 RL.md

@@ -32,7 +32,7 @@ RL is learning what to do, it presents two main characteristics:
 	- take actions that affects the state
 
 Difference from other ML
-- no supervisor
+- **no supervisor**
 - feedback may be delayed
 - time matters
 - agent action affects future decisions
@@ -44,13 +44,6 @@ Learning online
 - we expect agents to get things wrong, to refine their understanding as they go
 - the world is not static, agents continuously encounter new situations
 
-RL applications:
-- self driving cars
-- engineering
-- healthcare
-- news recommendation
-- ...
-
 Rewards
 - a reward is a scalar feedback signal (a number)
 - reward Rt indicates how well the agent is doing at step t
@@ -63,12 +56,12 @@ communication in battery free environments
 - positive rewards if the queried device has new data
 - else negative
 
-Challenge:
+#### Challenges:
 - tradeoff between exploration and exploitation
 - to obtain a lot of reward a RL agent must prefer action that it tried in the past
 - but better actions may exist... So the agent has to exploit!
 
-exploration vs exploitation dilemma:
+##### exploration vs exploitation dilemma:
 - comes from incomplete information: we need to gather enough information to make best overall decisions while keeping the risk under control
 - exploitation: we take advanced of the best option we know
 - exploration: test new decisions
@@ -108,6 +101,7 @@ one or more of these components
 	- used to evaluate the goodness/badness of states
 	- values are prediction of rewards
 	- $V_\pi(s) = Ep[yRt+1 + y^2Rt+2 ... | St = s]$
+		- better explained later
 - **Model:**
 	- predicts what the environment will do next
 	- may predict the resultant next state and/or the next reward
@@ -124,103 +118,4 @@ back to the original problem:
 		- positive when querying a device with new data
 		- negative if it has no data
 		- what to do if the device has lost data?
-	- state?
+	- state?
-
-
-### Exploration vs exploitation trade-off
-- Rewards evaluate actions taken
-- evaluative feedback depends on the action taken
-- no active exploration
-
-Let's consider a simplified version of an RL problem: K-armed bandit problem.
-- K different options
-- every time need to chose one
-- maximize expected total reward over some time period
-- analogy with slot machines
-	- the levers are the actions
-	- which level gives the highest reward?
-- Formalization
-	- set of actions A (or "arms")
-	- reward function R that follows an unknown probability distributions
-	- only one state
-	- ...
-
-Example: doctor treatment
-- doctor has 3 treatments (actions), each of them has a reward.
-- for the doctor to decide which action to take is best, we must define the value of taking each action
-- we call these values the action values (or action value function)
-- action value: ... 
-
-Each action has a reward defined by a probability distribution.
-- the red treatment has a bernoulli probability
-- the yellow treatment binomial
-- the blue uniform
-- the agent does not know the distributions!
-- the estimated action for action a is the sum of rewards observed divided by the total time the action has been taken (add formula ...)
-	- 1predicate denotes the random variable (1 if true else 0)
-
-- greedy action:
-	- doctors assign the treatment they currently think is the best
-	- ...
-	- the greedy action is computed as the argmax of Q values
-	- greedy always exploits current knowledge
-- epsilon-greedy:
-	- with a probability epsilon sometimes we explore
-		- 1-eps probability: we chose best greedy action
-		- eps probability: we chose random action
-
-exercises ...
-
-exercise 2: k-armed bandit problem.
-K = 4 actions, denoted 1,2,3 and 4
-eps-greedy selection
-initial Q estimantes = 0 for all a.
-
-Initial sequenze of actions and rewards is:
-A1 = 1   R1 = 1
-A2 = 2  R2 = 2
-A3 = 2  R3 = 2
-A4 = 2  R4 = 2
-A5 = 3  R5 = 0
-
----
-step A1: action 1 selected. Q of action 1 is 1
-step A2: action 2 selected. Q(1) = 1, Q(2) = 1
-step A3: action 2 selected. Q(1) = 2, Q(2) = 1.5
-step A4: action 2. Q(1) = 1, Q(2) = 1.6
-step A5: action 3. Q(1) = 1, Q(2) = 1.6, Q(3) = 0
-
-For sure A2 and A5 are epsilon cases, system didn't chose the one with highest Q value.
-A3 and A4 can be both greedy and epsilon case.
-
-#### Incremental formula to estimate action-value
-- to simplify notation we concentrate on a single action
-- Ri denotes the reward received after the i(th) selection of this action. Qn denotes the estimate of its action value after it has been selected n-1 times (add Qn formula ...)
-- given Qn and the reward Rn, the new average of rewards can be computed by (add formula with simplifications...) $Q_(n+1) = Q_{n} + \frac{1}{n}[Rn - Qn]$
-	- NewEstimate <- OldEstimate + StepSize (Target - OldEstimate)
-	- Target - OldEstimate is the error
-
-Pseudocode for bandit algorithm:
-```
-Initialize for a = 1 to k:
-	Q(a) = 0
-	N(a) = 0
-Loop forever:
-	with probability 1-eps:
-		A = argmax_a(Q(a))
-	else:
-		A = random action
-	R = bandit(A) # returns the reward of the action A
-	N(A) = N(A) + 1
-	Q(A) = Q(A) + 1\N(A) * (R - Q(A))
-```
-
-Nonstationary problem: rewards probabilities change over time.
-- in the doctor example, a treatment may not be good in all conditions
-- the agent (doctor) is unaware of the changes, he would like to adapt to it
-
-An option is to use a fixed step size. We remove the 1/n factor and add an $\alpha$ constant factor between 0 and 1.
-And we get $Q_{n+1} = (1-\alpha)^{n}Q_1 + \sum_{i=1}^{n}{\alpha(1 - \alpha)^{(n-1)} R_i}$
-
-
-... ADD MISSING PART ...

Autonomous Networking/notes/7.1 K-Armed bandit problem.md

@@ -0,0 +1,122 @@
+### K-Armed bandit problem
+- Rewards evaluate actions taken
+- evaluative feedback depends on the action taken
+- no active exploration
+
+Let's consider a simplified version of an RL problem: K-armed bandit problem.
+- K different options
+- every time need to chose one
+- maximize expected total reward over some time period
+- analogy with slot machines
+	- the levers are the actions
+	- which lever gives the highest reward?
+- **Formalization**
+	- set of actions A (or "arms")
+	- reward function R that follows an unknown probability distributions
+	- only one state
+	- at each step t, agent selects an action A
+	- environment generates reward
+	- goal to maximize cumulative reward
+
+Example: doctor treatment
+- doctor has 3 treatments (actions), each of them has a reward.
+- for the doctor to decide which action to take is best, we must define the value of taking each action
+- we call these values the action values (or action value function)
+- **action value:** $$q_{*}=E[R_{t} \mid A_{t}=a]$$
+Each action has a reward defined by a probability distribution.
+- the red treatment has a Bernoulli probability
+- the yellow treatment binomial
+- the blue uniform
+- the agent does not know the distributions!
+![[Pasted image 20241030165705.png]]
+
+- **the estimated action value Q** for action a is the sum of rewards observed divided by the total time the action has been taken
+
+- **greedy action:**
+	- doctors assign the treatment they currently think is the best
+	- greedy action is the action that currently has the largest estimated action value $$A_{t}=argmax(Q_{t}(a))$$
+	- greedy always exploits current knowledge
+- **epsilon-greedy:**
+	- with a probability epsilon sometimes we explore
+		- 1-eps probability: we chose best greedy action
+		- eps probability: we chose random action
+
+#### Exercise 1
+In ε-greedy action selection, for the case of two actions and ε=0.5, what is the probability that the greedy action is selected?
+*We have two actions. The probability of selecting the greedy action is 50%.
+But when the exploration happens, the greedy actions may be selected!
+So, with 0.5 prob. we select greedy action. With 0.5 prob. we select random action, which can be both. So in the random case, we select the greedy action with 0.5 * 0.5 probability = 0.25.
+Finally, we select the greedy action with 0.5 + 0.25 = 0.75 probability.
+
+#### Exercise 2
+Consider K-armed bandit problem.
+K = 4 actions, denoted 1,2,3 and 4
+Agent uses eps-greedy action selection
+initial Q estimantes is 0 for all actions: $$Q_{1}(a)=0$$
+Initial sequenze of actions and rewards is:
+A1 = 1   R1 = 1
+A2 = 2  R2 = 2
+A3 = 2  R3 = 2
+A4 = 2  R4 = 2
+A5 = 3  R5 = 0
+
+On some of those time steps, the epsilon case may have occurred, causing an action to be selected at random. On which time steps did this definitely occur?
+On which time steps could this possibly have occurred?
+
+***Answer***
+to answer, we need to compute the action sequence
+
+in the table, Qa means Q value of the action a at current state!
+
+| steps          | Q1  | Q2   | Q3  | Q4  |
+| -------------- | --- | ---- | --- | --- |
+| A1 \| action 1 | 1   | 0    | 0   | 0   |
+| A2 \| action 2 | 1   | 1    | 0   | 0   |
+| A3 \| action 2 | 1   | 1.5  | 0   | 0   |
+| A4 \| action 2 | 1   | 1.66 | 0   | 0   |
+| A5 \| action 3 | 1   | 1.66 | 0   | 0   |
+
+
+
+step A1: action 1 selected. Q of action 1 is 1
+step A2: action 2 selected. Q(1) = 1, Q(2) = 1
+step A3: action 2 selected. Q(1) = 2, Q(2) = 1.5
+step A4: action 2. Q(1) = 1, Q(2) = 1.6
+step A5: action 3. Q(1) = 1, Q(2) = 1.6, Q(3) = 0
+
+For sure A2 and A5 are epsilon cases, system didn't chose the one with highest Q value.
+A3 and A4 can be both greedy and epsilon case.
+
+#### Incremental formula to estimate action-value
+- idea: compute incrementally the action values, to avoid doing it every time
+- to simplify notation we concentrate on a single action on the next examples
+	- $R_{i}$ denotes the reward received after the i(th) selection of this action.
+	- $Q_{n}$ denotes the estimate of its action value after it has been selected n-1 times $$Q_{n}=\frac{R_{1}+R_{2}+\dots+R_{n-1}}{n-1}$$
+- given $Q_{n}$ and the reward Rn, the new average of rewards can be computed by $$Q_{n+1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nR_{i}$$
+General formula: NewEstimate <- OldEstimate + StepSize (Target - OldEstimate) $$Q_(n+1) = Q_{n} + \frac{1}{n}[Rn - Qn]$$Target - OldEstimate is the error
+
+Pseudocode for bandit algorithm:
+```
+Initialize for a = 1 to k:
+	Q(a) = 0
+	N(a) = 0
+Loop forever:
+	with probability 1-eps:
+		A = argmax_a(Q(a))
+	else:
+		A = random action
+	R = bandit(A) # returns the reward of the action A
+	N(A) = N(A) + 1
+	Q(A) = Q(A) + 1\N(A) * (R - Q(A))
+```
+
+#### Nonstationary problem:
+Rewards probabilities change over time.
+- in the doctor example, a treatment may not be good in all conditions
+- the agent (doctor) is unaware of the changes, he would like to adapt to it, maybe a treatment is good only on a specific season.
+
+An option is to use a fixed step size. We remove the 1/n factor and add an $\alpha$ constant factor between 0 and 1.
+And we get $$Q_{n+1} = (1-\alpha)^{n}Q_1 + \sum_{i=1}^{n}{\alpha(1 - \alpha)^{(n-1)} R_i}$$
+#### Optimistic initial values
+Initial action values can be used as a simple way to encourage exploration!
+This way we can make the agent explore more at the beginning, and explore less after a while, this is cool!

Autonomous Networking/notes/7.2 10 arm testbed - optimism in face of uncertainty.md

@@ -15,7 +15,7 @@
 
 ![[Pasted image 20241025084755.png]]
 
-.. add siled ...
+
 ![[Pasted image 20241025084830.png]]
 
 #### Experiments

Autonomous Networking/notes/9 Markov processes.md

@@ -0,0 +1,132 @@
+MDPs are a classical formalization of sequential decision making, where actions influence not just immediate rewards, but also subsequent situations (states) and through those future rewards
+
+MDPs involve delayed rewards and the need to trade off immediate and delayed rewards
+
+Whereas in bandit we estimated the q*(a) of each action a, in MDPs we estimate the value q*(a,s) of each action a in each state s, or we estimate the value v*(s) of each state s given optimal action selection
+
+
+- MDPs are meant to be a straightforward framing of the problem of learning from interaction to achieve a goal.
+- The agent and environment interact at each of a sequence of discrete time steps, t = 0, 1, 2, 3, . . .
+- At each timestep, the agent receives some representation of the environment state and on that basis selects an action
+- One time step later, in part as a consequence of its action, the agent receives a numerical reward and finds itself in a new state
+
+- Markov decision processes formally describe an environment for reinforcement learning
+- Where the environment is fully observable
+-  i.e. The current state completely characterises the process
+- Almost all RL problems can be formalised as MDPs
+	- e.g. Bandits are MDPs with one state
+
+Markov property
+“The future is independent of the past given the present”
+![[Pasted image 20241030102226.png]]![[Pasted image 20241030102243.png]]
+
+- A Markov process (or markov chain) is a memoryless random process, i.e. a sequence of random states S1, S2, ... with the Markov property.
+	- S finite set of states
+	- P is a state transition probability matrix
+	- then $Pss′ = ℙ [St+1=s′ | St=s]$
+
+Example
+![[Pasted image 20241030102420.png]]
+![[Pasted image 20241030102722.png]]
+
+#### Markov Reward Process
+This is a Markov Process but we also have a reward function! We also have a discount factor.
+
+ Markov Reward Process is a tuple ⟨S, P, R, γ⟩
+ - S is a (finite) set of states
+ - P is a state transition probability matrix, $Pss′ = ℙ [ St+1=s′ | St=s ]$
+ - R is a reward function, $Rs = 𝔼 [ R_{t+1} | St = s ]$
+ - γ is a discount factor, $γ ∈ [0, 1]$
+
+![[Pasted image 20241030103041.png]]
+
+ ![[Pasted image 20241030103114.png]]
+-  The discount $γ ∈ [0, 1]$ is the present value of future rewards
+-  The value of receiving reward R after k + 1 time-steps is $γ^kR$
+- This values immediate reward above delayed reward
+	- γ close to 0 leads to ”short-sighted” evaluation
+	- γ close to 1 leads to ”far-sighted” evaluation
+
+ Most Markov reward and decision processes are discounted. Why?
+ - mathematical convenience
+ - avoids infinite returns in cyclic Markov processes
+ - uncertainity about the future may not be fully represented
+ - if the reward is financial, immediate rewards may earn more interest than delayed rewards
+ - Animal/human behaviour shows preference for immediate rewards
+ - It is sometimes possible to use undiscounted Markov reward processess (gamma = 1) e.g. if all sequences terminate
+
+Value function
+- The value function v(s) gives the long-term value of (being in) state s
+- The state value function v(s) of an MRP is the expected return starting from state s $𝑉) = 𝔼 [𝐺𝑡 |𝑆𝑡 = 𝑠]$
+
+![[Pasted image 20241030103519.png]]
+![[Pasted image 20241030103706.png]]
+is a prediction of the reward in next states
+
+![[Pasted image 20241030103739.png]]
+![[Pasted image 20241030103753.png]]
+
+- The value function can be decomposed into two parts:
+	- immediate reward $R_{t+1}$
+	- discounted value of successor state $γv(St+1)$
+
+![[Pasted image 20241030103902.png]]
+
+#### Bellman Equation for MRPs
+$v (s) = E [Rt+1 + v (St+1) | St = s]$
+![[Pasted image 20241030104056.png]]
+
+- Bellman equation averages over all the possibilities, weighting each by its probability of occurring
+- The value of the start state must be equal the (discounted) value of the expected next state, plus the reward expected along the way
+
+![[Pasted image 20241030104229.png]]
+4.3 is the reward I get exiting from the state (-2) plus the discount times the value of the next state + ecc.
+
+
+![[Pasted image 20241030104451.png]]
+
+#### Solving the Bellman Equation
+- The Bellman equation is a linear equation
+- can be solved directly![[Pasted image 20241030104537.png]]
+- complexity O(n^3)
+- many iterative methods
+	- dynamic programming
+	- monte-carlo evaluation
+	- temporal-difference learning
+
+#### MDP
+![[Pasted image 20241030104632.png]]
+
+![[Pasted image 20241030104722.png]]
+
+Before we had random probabilities, now we have actions to chose from. But how do we chose?
+We have policies: a distribution over actions given the states: $$𝜋(a|s)= ℙ [ At=a | St=s ]$$
+- policy fully defines the behavior of the agent
+- MDP policies depend on the current state (not the history)
+- policies are stationary (time-independent, depend only on the state but not on the time)
+
+
+##### Value function
+The state-value function v𝜋(s) of an MDP is the expected return starting from state s, and then following policy 𝜋 $$v𝜋(s) = 𝔼𝜋 [ Gt | St=s ]$$
+The action-value function q 𝜋 (s,a) is the expected return starting from state s, taking action a, and then following policy 𝜋 $$q 𝜋(a|s)= 𝔼𝜋 [ Gt | St=s, At=a ]$$
+![[Pasted image 20241030105022.png]]
+
+- The state-value function can again be decomposed into immediate reward plus discounted value of successor state $$v\pi(s) = E\pi[Rt+1 + v⇡(St+1) | St = s]$$
+- The action-value function can similarly be decomposed $$q\pi(s, a) = E\pi [Rt+1 + q⇡(St+1, At+1) | St = s, At = a]$$
+![[Pasted image 20241030105148.png]]![[Pasted image 20241030105207.png]]
+![[Pasted image 20241030105216.png]]
+putting all together
+(very important, remeber it)
+
+![[Pasted image 20241030105234.png]]
+
+![[Pasted image 20241030105248.png]]
+as we can see, an action does not necessarily bring to a specific state.
+
+
+Example: Gridworld
+2 azioni che rimandano allo stesso stato, due azioni che vanno in uno stato diverso
+![[Pasted image 20241030112555.png]]
+![[Pasted image 20241030113041.png]]
+![[Pasted image 20241030113135.png]]
+C is low because from C I get reward of 0 everywhere I go.

Biometric Systems/notes/6. Face recognition 2D.md

@@ -0,0 +1,159 @@
+![[Pasted image 20241030133828.png]]
+
+Nel riconoscimento facciale 2D abbiamo principalmente due problematiche da
+risolvere:
+- Costruzione di feature discriminative e rappresentative
+	- difficile avere una separazione lineare tra classi
+	- in certi casi dobbiamo combinare classificatori lineari (AdaBoost) o usare classificatori non lineari (molto più complesso)
+- Costruzione di un classificatore che possa generalizzare anche su oggetti mai visti nel training
+
+In questo caso quindi ci troviamo a rappresentare le facce all’interno di immagini digitali, che vengono rappresentate da matrici a due dimensioni (w × h) oppure vettori unidimensionali (d = w × h). L’alta dimensionalità dei dati (es.: immagine 100 × 100 ha dimensione 10000) ci porta subito a un primo problema, ovvero il “Curse of dimensionality”: quando la dimensionalità aumenta, il volume dello spazio aumenta cosı̀ velocemente che i dati diventano sparsi/radi, rendendo difficile la classificazione.
+La sparsità dei dati, nel momento in cui vengono utilizzati strumenti statistici
+come ad esempio i modelli di machine learning, diminuisce drasticamente la capacità predittiva di questi in quanto si hanno bisogno di tanti più esempi per generalizzarne le regole predittive.
+> [!PDF|yellow] [[LEZIONE6_Face recognition2D.pdf#page=7&selection=6,0,6,17&color=yellow|LEZIONE6_Face recognition2D, p.7]]
+> > Some consequences
+> 
+> leggi le conseguenze
+
+Un'alternativa è rappresentare un'immagine nel feature space:
+- Gabor filters
+- discrete cosine transform (DCT)
+- local binary pattern (LBP) operator
+- fractal encoding
+
+#### PCA
+possibile soluzione al curse of dimensionality: PCA.
+Metodo statistico che consente di ridurre l'alta dimensionalità di uno spazio mappando i dati in un altro spazio con dimensionalità decisamente più piccola minimizzando la perdita di informazioni.
+Vengono individuati dei nuovi assi, ortogonali tra loro, su cui proiettare i dati che però ne **massimizzano la varianza**. L'ortogonalità di questi ci permette di escludere componenti correlate tra loro che risultano quindi ridondanti.
+Nello spazio delle immagini, i principali componenti sono ortogonali quando sono gli *autovettori della matrice di covarianza*.
+
+L'obiettivo è di eliminare features con varianza molto bassa, che quindi sono comuni tra tutti i sample e poco utili a discriminare classi.
+
+Calcoliamo l'optimal k
+Dato un training set TS di m sample di n dimensioni, calcoliamo
+- il vettore medio $\hat{x}$ del training set $$\hat{x}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_{i}$$
+- matrice di covarianza C $$C=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(x_{i}-\hat{x})(x_{i}-\hat{x})^T$$
+- la dimensione di C è (n x n)
+- il nuovo spazio k-dimensionale è dato dalla matrice di proiezione dove le colonne sono i k autovettori di C, corrispondenti ai k autovalori di C. Plottando gli autovalori possiamo ottenere la varianza lungo gli autovettori.
+
+> [!PDF|red] [[LEZIONE6_Face recognition2D.pdf#page=14&selection=0,0,2,10&color=red|LEZIONE6_Face recognition2D, p.14]]
+> > PCA and Eigenfaces
+> 
+> esempio
+
+![[Pasted image 20241030142613.png]]
+da questo otteniamo l'elemento medio:
+![[Pasted image 20241030142635.png]]
+
+problema: bisogna avere tutte le facce ben centrate!!
+
+![[Pasted image 20241030142717.png]]
+autovettori (completamente diverse da quelle di partenza se ci facciamo caso)
+dobbiamo estrarre quelle
+
+Proiezione: eseguita moltiplicando la matrice di proiezione trasposta $𝜑_{k}^T$ per il vettore originale.
+![[Pasted image 20241030142934.png]]
+![[Pasted image 20241030143149.png]]
+
+##### Problemi di PCA
+- mancanza di potere discriminativo
+	- la separazione degli autovettori dipende anche dalle differenze intra-classe
+	- ma il sistema è unsupervised learning
+- in in presenza di variazioni PIE, il modello potrebbe usare quelle come componenti facciali e non essere quindi in grado di separare correttamente le classi
+
+Possibile soluzione: Fisherfaces, un'applicazione di FLD (Fisher's linear discriminant), spesso menzionato nel contesto del Linear Discriminant Analysis (LDA).
+
+### LDA
+Alcuni dei problemi di PCA possono essere dati dal fatto che lavoriamo su dati in una maniera unsupervised (non supervisionata), ovvero senza tenere in considerazione le classi dei vari sample.
+Una soluzione supervised è proposta da LDA, ovvero un metodo simile a PCA ma che minimizza la distanza intra-classe e cerca di massimizzare invece la distanza tra classi.
+
+Nell'immagine la riduzione è da 2 a 1 dimensioni. In alcuni casi tipo questo non basta ridurre da due a un asse, gli assi sono ruotati per massimizzare la separazione tra classi. L'importante è che le coordinate rimangano ortogonali tra loro
+![[Pasted image 20241030144246.png]]
+the best subspace is better cause we are able to separate class among the 1D axis. As we can see, in the worst one, we are definitely not able to.
+
+##### Possibile approccio
+- partiamo, come nel PCA, da un set di m sample di n dimensioni.
+- a differenza del PCA, splittiamo il set in base ai label che rappresentano le classi $PTS=\{P_{1},P_{2},{_{3},\dots,P_{s}}\}$, dove $P_{i}$ è una classe di cardinalità $m_{i}$
+- cerchiamo di ottenere uno scalare $y$ proiettando il sample $x$ su una linea, in modo che $y=w^Tx$
+	- chiaramente x è un punto nell'immagine 2D
+	- y è il punto proiettato invece nel nuovo spazio 1D
+
+Consideriamo due classi $P_1$ e $P_{2}$, rispettivamente con $m_{1}$ e $m_{2}$ vettori ciascuna
+- consideriamo i vettori medi di ogni classe nei due spazi: $$\mu_{i}=\frac{1}{m_{i}}\sum_{j=1}^{m_{i}}x_{j}$$
+- nel nuovo spazio si avrà (la tilde indica che è nel nuovo spazio) $$\tilde{}\mu_{i}=\frac{1}{m_{i}}\sum_{j=1}^{m_{i}}y_{j}=\frac{1}{m_{i}}\sum_{j=1}^{m_{i}}w^Tx_{j}=w^T\mu_{i}$$
+- possiamo scegliere la distanza dai vettori medi proiettati (quindi nel nuovo spazio) come una funzione che chiaramente vogliamo cercare di massimizzare $$J(w)=|\tilde{\mu_{1}}-\tilde{\mu_{2}}|=|w^T(\mu_{1}-\mu_{2})|$$
+![[Pasted image 20241031085606.png]]
+in questo caso però notiamo come in un asse abbiamo un'ottima separabilità tra classi, nell'altro abbiamo una distanza maggiore tra i due vettori medi.
+E mo come cazzo famo? Proviamo a cercare un metodo migliore
+
+##### Scattering matrices
+Dobbiamo prendere in considerazione lo spread tra le classi.
+Dobbiamo massimizzare il rapporto tra la varianza tra classi e la varianza della singola classe
+- **varianza della singola classe**
+	- indica come i vettori sono distribuiti/dispersi rispetto al centro della stessa classe
+- **varianza tra classi**
+	- indica come i centri sono distribuiti rispetto al centro di tutto (ok si potrebbe spiegare meglio ma so le 9:00
+
+##### Approccio
+- partiamo, come nel PCA, da un set di m sample di n dimensioni.
+- a differenza del PCA, splittiamo il set in base ai label che rappresentano le classi $PTS=\{P_{1},P_{2},{_{3},\dots,P_{s}}\}$, dove $P_{i}$ è una classe di cardinalità $m_{i}$
+- per ogni classe $P_{i}$ calcoliamo il vettore medio e la "media dei medi"$$\mu_{i}=\frac{1}{m_{i}}\sum_{j=1}^{m_{i}}x_{j}$$$$\mu_{TS}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{S}m_{i}\mu_{i}$$
+- calcoliamo la matrice di covarianza per la classe ${P_{i}}$ $$C_{i}=\frac{1}{m_{i}}\sum_{j=1}^{m_{i}}(x_{j}-\mu_{i})(x_{j}-\mu_{i})^T$$
+- ora possiamo calcolare scatter matrix whithin-class (della stessa classe) $$S_{W}=\sum_{i=1}^Sm_{i}C_{i}$$
+- scatter matrix tra classi $$S_{B}=\sum_{i=1}^Sm_{i}(\mu_{i}-\mu_{TS})(\mu_{i}-\mu_{TS})^T$$per due classi è anche definita come $$(\mu_{1}-\mu_{2})(\mu_{1}-\mu_{2})^T$$
+- le stesse definizioni sono valide anche nel nuovo spazio con $\tilde{S_{W}}$ e $\tilde{S_{B}}$ con $y=w^Tx$ e la dispersione (scatter) della classe proiettata $P_{i}$ è definito come $$\tilde{s_{i}}^2=\sum_{y \in P_{i}}(y-\tilde{\mu_{i}})^2$$ la somma di tutti gli $\tilde{s_{i}}^2$ (di tutte le classi) è la within-class scatter (dispersione tra classi)
+
+- adesso vogliamo massimizzare la differenza tra i vettori medi, normalizzati secondo una misura della dispersione della singola classe (within-class scatter)
+- con due classi, è definita come la funzione lineare $w^Tx$ che massimizza la funzione $$J(w)=\frac{{|\tilde{\mu_{1}}-\tilde{\mu_{2}}|^2}}{\tilde{s_{1}}²+\tilde{s_{2}}^2}$$
+- cerchiamo una proiezione dove sample della stessa classe sono proiettati molto vicini tra loro, ma con i valori medi delle classi il più possibile lontani tra loro![[Pasted image 20241031091853.png]]
+
+### Feature spaces
+- possiamo estrarre feature applicando filtri o trasformazioni alle immagini
+- possiamo usare uno dei metodi appena descritti se le feature estratte hanno una dimensionalità alta
+Quali sono le migliori feature da estrarre? Vediamo alcuni operatori
+
+##### Bubbles
+- un osservatore umano può subito ipotizzare il genere, l'identità, l'età e l'espressione guardando una faccia
+- l'esperimento consiste nel mostrare l'immagine con sopra un pattern a bolle e vedere se l'osservatore umano e un sistema biometrico riescono a classificarlo bene![[Pasted image 20241031100207.png]]
+- alla fine dell'esperimento riusciamo a capire quali sono gli elementi (le features quindi) della faccia che vengono prese in considerazione da un essere umano o che un sistema biometrico utilizza per classificare
+
+#### Wavelet
+provides a time-frequency representation of the signal. Fornisce tempo e frequenza contemporaneamente.
+![[Pasted image 20241031102321.png]]
+
+#### Gabor filters
+È un filtro lineare utilizzato in applicazioni di edge detection, analisi di texture e estrazione di feature, e si pensa che sia simile al sistema percettivo visivo di noi umani. Un Gabor filter 2D non è altro che un kernel Gaussiano modulato da un’onda piana sinusoidale.
+> [!PDF|yellow] [[LEZIONE6_Face recognition2D.pdf#page=43&selection=0,2,11,7&color=yellow|LEZIONE6_Face recognition2D, p.43]]
+> > An example of filters: Gabor filters
+> 
+> guarda dalle slide
+
+![[Pasted image 20241031102640.png]]
+
+Un feature vector viene ricavato eseguendo varie convoluzioni con un insieme Gabor filter (Gabor filter bank) con diversi orientamenti e scale (nell'immagine sull'asse x troviamo gli orientamenti e su y le scale)
+
+Otteniamo quindi diversi filtri andando a cambiare i parametri:
+- λ: frequenza, controlla lo spessore della striscia; più è grande più sarà spessa
+- θ: orientamento, controlla la rotazione della striscia ed è espresso come un angolo
+- γ: aspect ratio, controlla l’altezza della striscia; più è grande più l’altezza diminuirà
+- σ: larghezza di banda, controlla la scala generale determinando anche il numero di strisce; aumentando questo valore avremo più strisce con meno distanza tra loro.
+
+Questa procedura, su immagini molto grandi, porta ad un’alta dimension-
+alità; possibili soluzioni sono:
+- Applicare il filtro su un subset di pixel, come ad esempio una griglia =⇒ dimensionalità ridotta, ma possibile perdità di informazioni salienti (dovuta a possibili rotazioni ad esempio)
+- Applico il filtro su tutti i pixel, ma poi seleziono solo i punti con picchi di valori =⇒ problemi di allineamento
+
+###### Ma come facciamo la convoluzione?
+- Griglia fissa
+	- possiamo perdere punti importanti
+- Griglia definita a mano in modo che i vertici sono vicini alle feature importanti, come gli occhi
+
+
+#### EBGM Elastic Bunch Graph Matching
+Questo metodo fa uso di grafi, nello specifico abbiamo per ogni soggetto una collezione di grafi (per questo il nome “bunch”), uno per ogni posa, dove:
+- i vertici (edges) sono labellati (pesati) con la distanza tra i nodi
+- i nodi contengono un insieme di risultati di diversi gabor filter (in genere 5 differenti frequenze e 8 diversi orientamenti), conservati in questa struttura chiamata “Jet”, e sono posizionati in punti importanti come ad esempio naso, occhi e bocca
+![[Pasted image 20241031104206.png]]
+![[Pasted image 20241031104526.png]]
+
+oggi non lo usa nessuno.