master-degree-notes/Foundation of data science/notes/5 Neural Networks.md

Certamente, ecco gli appunti dettagliati in formato Markdown per il tuo blocco note Obsidian, basati sui PDF forniti:

Reti Neurali

• Funzione Score Lineare:
• f = Wx
• Rete Neurale a 2-layer:
• f = W₂ max(0, W₁x)

Fully Connected Neural Net

• Problema:
  • Spatial correlation locale
  • Molti parametri: 10^12 per una immagine 1000x1000 con 1M hidden units
  • Meglio usare le risorse altrove

Locally Connected Neural Net

• Soluzione:
  • Input connessi localmente.
  • Meno parametri.
  • 100M per una immagine 1000x1000 con 1M hidden units e filter size 10x10
  • Problema: Staticità dei parametri.

Convolutional Neural Net

• Soluzione:
  • Condivide i parametri su diverse locazioni
  • Convolution con learned kernels
  • Impara multipli filtri,
  • Esempio con 100 filtri e dimensione 10x10, si hanno 10k parametri.
• Motivazioni:
  • Le reti standard crescono quadraticamente con la dimensione dell'input.
  • Non sfruttano la staticità.
  • Connette ogni unità nascosta con un piccolo input patch.
  • Condivide i pesi.

Pooling

• Scopo: Filtra risposte a diverse locazioni, ottenendo robustezza.
• Max e Average.

Neural Nets for Vision

• Connessione hidden layer a patch dell'input, condividendo i pesi.
• Cnn: convolutional network.

Layer Fully Connected

• Si applica dopo la fase di feature extraction.
• Output lineare: Wx
• Output è un numero se si applica Wx

Layer Convoluzionale

• Preserva la struttura spaziale
• Dimensione filtro tipica 5x5x3.
• Applica la convoluzione tra filtro e chunk di immagine.

Layer Convoluzionale Multiplo

• Si possono usare più filtri, ottenendo più mappe di attivazione.
• Si stackano le mappe di attivazione.
• Ogni mappa è un nuovo channel.

ConvNet

• Sequenza di convolutional layers, alternate da funzioni di attivazione (RELU).

VGG-16

• Bassi livelli: low level features.
• Medio livello: mid level features.
• Alti livelli: high level features.
• Dopo i vari layers la classificazione è lineare.

CONV layer in Pytorch

• torch.nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size, stride=1, padding=0, dilation=1, groups=1, bias=True)
• Input: N (batch size), C(channel), H(height) e W(width).
• Output: N, Cout, Hout, Wout.
• out(N, C) = bias(Cout) + sum_{k=0}^{C_in-1} weight(Cout, k) * input(N, k)
• Parametri: kernel_size, stride, padding, dilation sono parametri int o tuple.
• Hyperparameters: * Numero di filtri K * Dimensione dei filtri F * Stride S * Padding P

Pooling Layer

• Rende la rappresentazione più piccola e gestibile.
• Opera indipendentemente per ogni mappa di attivazione.
• Downsampling:
  • 224 diventa 112.

Max Pooling

• No learnable parameters.
• Introduce spatial invariance.

Struttura tipica CNN

• CONV -> RELU -> POOL (più volte) -> FC (linear) -> Softmax.
• Struttura di base: [(CONV-RELU)*N-POOL?]*M-(FC-RELU)*K,SOFTMAX

Spero che questi appunti ti siano utili. Buono studio per il tuo esame! Se hai altre domande, non esitare a chiedere.

Appunti su Reti Neurali e Convoluzionali

Dropout

• Definizione: Tecnica di regolarizzazione per prevenire l'overfitting in reti neurali.
• Funzionamento (Training):
  • Disattiva casualmente una frazione di neuroni durante ogni iterazione di training.
  • I neuroni disattivati (dropped-out) hanno attivazione zero.
  • La probabilità di dropout è controllata dall'iperparametro p (dropout rate), dove 0 ≤ p < 1.
  • I pesi dei neuroni attivi vengono aggiornati normalmente con backpropagation.
  • I neuroni disattivati non contribuiscono al forward o backward pass.
  • Formula: h = r ⊙ x, dove rᵢ ~ Bernoulli(1-p) e ⊙ è la moltiplicazione elemento per elemento.
• Funzionamento (Inferenza):
  • Nessun neurone viene disattivato.
  • Le attivazioni vengono scalate in base al dropout rate (p). Tipicamente si moltiplica per 1-p per compensare la minore attività dei neuroni in training.
  • Formula: h = (1-p)x
• Inverse Dropout:
  • La scalatura delle attivazioni viene fatta durante il training, non l'inferenza.
  • Assicura la consistenza dei valori delle attivazioni tra training e inferenza.
  • Formula: h = (r ⊙ x) / (1-p)
• Obiettivo: Forzare la rete a imparare caratteristiche robuste che non dipendono da neuroni specifici.
• Efficacia: Non è sempre efficace.

Connessioni Residue (Residual Connections)

• Definizione: Introdotte nelle Residual Networks (ResNets) per affrontare il problema del vanishing gradient.
• Funzionamento:
  • Aggiungono l'input di un layer direttamente al suo output, "saltando" uno o più layer.
  • Formula: h = F(x) + x
  • Ogni layer aggiunge un "residuo" al valore precedente.
• Backpropagation:
  • Se i parametri sono tali che F(x) = 0, allora l'input passa inalterato (funzione identità).
  • I derivati non si annullano grazie alla forma F(x) + x.
• Deep Residual Networks:
  • Consistono in molti layer con unità residue.
  • Per la visione, F sono tipicamente 2-3 layer convolution nets.
  • Performance migliore con profondità maggiori rispetto alle reti normali.
• Esempio ImageNet:
  • ResNet 152 layers: errore top-5 4.49%
  • Ensemble ResNet: 3.57%
  • Precedente SOTA: 6.6% (GoogLeNet)
  • Umani: 5.1%
  • ResNets fino a 1000 layers, ma le performance si stabilizzano a 150 layer.

Normalizzazione

• Standard Scaling:

  • Preprocessa i dati in modo che ogni feature (colonna) abbia media zero e varianza unitaria.
  • Formula: X' = (X - μ) / sqrt(σ²)
  • μ: media della feature, calcolata come μⱼ = (1/n) Σᵢ Xᵢⱼ
  • σ²: varianza della feature, calcolata come σ²ⱼ = (1/n) Σᵢ (Xᵢⱼ - μⱼ)²

• Batch Normalization (BN):

  • Normalizza gli output di ogni layer o blocco in una rete neurale.
  • Obiettivo: imparare media e varianza ottimali per ogni unità del layer durante il training.
  • La media e la varianza di un layer cambiano durante l'ottimizzazione.
  • Calcola media e varianza su un mini-batch anziché sull'intero dataset.
    • Formula: H' = (H - μ) / (sqrt(σ²) + ε)
  • BN(H) imposta una nuova media e varianza: BN(H) = αH'ᵢⱼ + βⱼ
  • α e β sono trainati via gradient descent.
  • Inferenza:
    • Post-Training Stats: Calcola media e varianza sull'intero dataset e le usa fisse.
    • Moving Average: Mantiene medie mobili di media e varianza durante il training, le usa fisse in inferenza.
  • BN Convoluzioni:
    • Media e varianza sono calcolate per canale, non per feature.
  • Sfide:
    • Mini-batch dependencies: Limita l'efficacia in scenari come distributed optimization.
    • High variance: Con batch piccoli, la stima di media e varianza è poco affidabile.

• Layer Normalization (LN):

  • Normalizza gli input a un layer attraverso le features (non mini-batch).
  • Comunemente usata in forecasting con time series e transformers (batch size variabile o spesso = 1).
  • Vengono allenate le variabili alfa e beta.

Data Augmentation

• Definizione: Tecnica per aumentare la dimensione del training set applicando trasformazioni casuali ai dati.
• Funzionamento:
  1. Campiona un mini-batch dal dataset.
  2. Applica una o più trasformazioni casuali (flipping, cropping, rotazione...).
  3. Allena il modello sul mini-batch trasformato.
• Benefici: Previene overfitting e migliora la robustezza del modello.
• Trasformazioni Geometriche:
  • Flipping (orizzontale/verticale)
  • Rotazione (angoli casuali)
  • Traslazione (shift in x/y)
  • Scaling (ridimensionamento)
  • Cropping (ritaglio)
  • Zooming
  • Affine (combinazione di altre)
• Trasformazioni Colore/Luce:
  • Brightness/Contrast/Saturation/Hue
  • Color Jittering
  • Grayscale
• Noise and Distortion:
  • Gaussian Noise
  • Salt-and-Pepper Noise
  • Elastic Deformations
• Cutout/Masking:
  • Cutout
  • Random Erasing
• Combinazione Tecniche:
  • Mixup
  • CutMix

Convoluzioni 1D

• Definizione: Usata per dati time series dove l'informazione è ordinata in sequenza.
• Obiettivo: Estrarre feature locali o pattern che evolvono nel tempo.
• Input: Time series di n passi, x₀, x₁,..., xₙ₋₁, dove ogni passo ha c features.
  • Rappresentata come matrice X (n, c): ogni riga è un timestep, ogni colonna è una feature.
• Convoluzione 1D: Definità da un receptive field di dimensione 2k:
  • Hᵢ = φ( Σⱼ₌₋ₖᵏ Σ₂₁ᶜ Wⱼ₊ₖ,₂ * Xᵢ₊ⱼ,₂)
• Scopi:
  • Local Pattern Detection: Catturare dipendenze locali nei time series.
  • Parameter Sharing: Stesso filtro applicato a tutti i passi, riducendo i parametri.
  • Translation Invariance: Robustezza a shift nel tempo.
• Applicazioni:
  • Forecasting
  • Anomaly Detection
  • Classification
  • Signal Processing
• Causal Convolution:
  • L'output a un tempo i dipende solo dai passi precedenti (non futuri).
  • Utile per forecasting e modelli che non devono "vedere" il futuro.
    • Hᵢ = φ( Σⱼ₌₀ᵏ Σ₂₁ᶜ Wⱼ,₂ * Xᵢ₋ⱼ,₂)

Causal Model

• Forecasting: Prevedere il passo successivo nei time series.
• Opzioni:
  • Poola l'output H e applica un regressor per predire xₙ.
  • Definisce un target Y = [x₁, x₂,..., xₙ] e allena il modello in modo che Hᵢ ≈ Hᵢ₊₁
  • Quest'ultimo funziona solo con modelli causali.

Autoregressive Generation

• Modelli allenati a prevedere il passo successivo possono essere usati per generazione autoregressiva.
• Funzionamento:
  1. Inizia con una sequenza iniziale come prompt.
  2. Il modello predice il passo successivo.
  3. Aggiungi la predizione all'input e ripeti.

Self-Attention

• Scopo: Modellare sequenze.
• Confronto con 1D Convolution:
  • 1D Convolution: Filtro a dimensione fissa, cattura pattern locali.
  • Self-Attention: Calcola le interazioni tra ogni elemento della sequenza, imparando le dipendenze globali.
• Funzionamento:
  • Calcola gli "attention scores" tra tutti gli elementi di una sequenza.
  • L'output è la somma pesata degli elementi, dove i pesi sono gli attention scores.
• Q, K, V Matrices:
  • Ogni token viene trasformato in 3 vettori: Query (Q), Key (K), Value (V).
  • Analogia web search:
    • Query (Q): la search term
    • Key (K): titoli delle pagine web
    • Value (V): contenuto delle pagine web.
  • Il modello usa Q, K, V per calcolare gli attention scores.
• Masked Self-Attention:
  • Attention Score: dot product di Q e K.
  • Masking: Blocca i token futuri (upper triangle) ponendo i loro scores a -inf.
  • Softmax: Converte gli scores in probabilità.
• Multi-Head Attention:
  • Multipli self-attention heads, ognuno cattura relazioni diverse tra i tokens.
  • Output concatenati e passati per una proiezione lineare.
• MLPs:
  • I risultati del multi-head self-attention vengono elaborati da un Multilayer Perceptron.
• Transformer Block:
  • Add \& Norm: connessione residua, layer normalization.
  • Layernorm applicato prima di MHA e MLP
  • Il blocco si ripete "Nx" volte.

Text Embeddings

• Tokens: Il testo viene diviso in unità più piccole (parole o subwords).
• Embeddings: I tokens sono convertiti in vettori numerici.
• Problematiche con encoders a livello di parola:
  • Difficoltà a gestire le boundaries delle parole.
  • Parole con forme simili trattate come separate.
• Char encoders: Riducono la complessità ma sono difficili da usare.
• Subword Encoders (Byte Pair Encoding):
  • Algoritmo che parte dal vocabolario base con tutti i caratteri.
  • Conta la frequenza delle coppie di caratteri.
  • Unisce la coppia più frequente in un nuovo simbolo.
  • Aggiunge il simbolo al vocabolario, re-tokenizza i dati.
  • Si ferma dopo un numero di step.
  • GPT-2 utilizza BPE su byte e aggiunge regole per il merging process.

Positional Encoding

• Problema: I transformers processano i tokens simultaneamente, perdendo informazione di sequenza.
• Positional Encoding: Aggiunge informazione di posizione ai token vectors, consentendo al modello di differenziarli.
• Sinusoidal Embeddings:
  • $$p(t)ᵢ= { sin(ωₖ * t) se i = 2k cos(ωₖ * t) se i = 2k+1 ωₖ = 1/10000^(2k/d)
• Relative Positional Embeddings:
  • Considera la distanza relativa i-j tra i tokens, non la posizione assoluta.
  • Es. ALiBi (Attention with Linear Biases): bᵢⱼ aggiunto basato sulla distanza relativa.
  • In ALiBi non si usano positional embeddings all'inizio.
• Output del Transformer:
  • L'output è proiettato nello spazio 50,257 dimensionale (grandezza vocabolario).
  • Ogni valore è un logit, raw score del token.
  • Softmax: i logits vengono trasformati in probabilità (distribuzione), si sceglie il token più probabile.
• Temperature:
  • Iperparametro che controlla la randomicità della generazione.
  • Temp = 1: nessun effetto.
  • Temp < 1: distribuisce "sharper", più deterministico.
  • Temp > 1: distribuisce "softer", più casuale, più creativa.